Question

【題目】如圖，已知橢圓過點(diǎn)，離心率為，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記、的面積分別為、，若，求的值；

（3）記直線、的斜率分別為、，求的值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓所過點(diǎn)、離心率和橢圓關(guān)系可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；

（2）利用面積比可求得，根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算，利用點(diǎn)坐標(biāo)表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而利用兩點(diǎn)連線斜率公式求得結(jié)果；

（3）將直線方程與橢圓方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理的形式，利用兩點(diǎn)連線斜率公式表示出所求的后，代入韋達(dá)定理的結(jié)論，整理可得結(jié)果.

（1）設(shè)橢圓的焦距為，

橢圓過點(diǎn)，離心率為，，解得：，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.

（2）設(shè)點(diǎn)、，

，，由（1）可知：，，

，即，，

，即

又在橢圓上，，解得：，

直線的斜率.

（3）由題意得：直線的方程為，

由消去得：，

，，

，

.