Question

（2012•泉州模擬）已知等差數列{a_n}滿足a₂=5，且a₆=3a₁+a₄．
（Ⅰ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）從集合{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}中任取3個不同的元素，其中偶數的個數記為ξ，求ξ的分布列和期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，由已知可得a₁與d的方程，解方程可求得a₁與d，從而可求和
（Ⅱ）由（Ⅰ）及等差數列的通項可求a_n=a₁+（n-1）d，從而可求出{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}奇數與偶數的個數，可求ξ的分布列及期望

解答：解：（Ⅰ）設等差數列的公差為d，由已知得

a1+d=5 a1+5d=4a1+3d

解得

a1=2 d=3

．…（2分）
故a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，Sn=

n(a1+an)

2

=

3

2

n2+

1

2

n．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=a₁+（n-1）d=3n-1，
∴{a₁，a₂，a₃，…，a₁₀}={2，5，8，…，29}有5個奇數，5個偶數． （6分）
∴ξ有0，1，2，3共四個取值，故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	1 12	5 12	5 12	1 12

…（10分）
則Eξ=0×

1

12

+1×

5

12

+2×

5

12

+3×

1

12

=

3

2

．…（13分）

點評：本小題主要考查等差數列、概率統計等基礎知識，考查數據處理能力、運算求解能力以及應用意識，考查函數與方程思想、必然與或然思想．