Question

（2012•泉州模擬）已知f0(x)=x•ex，f₁（x）=f′₀（x），f₂（x）=f′₁（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x）（n∈N^*）．
（Ⅰ）請寫出f_n（x）的表達式（不需證明）；
（Ⅱ）設f_n（x）的極小值點為P_n（x_n，y_n），求y_n；
（Ⅲ）設gn(x)=-x2-2(n+1)x-8n+8，g_n（x）的最大值為a，f_n（x）的最小值為b，試求a-b的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據導數寫出f₁（x），f₂（x）歸納出f_n（x）；
（2）由（1）知f_n（x）的表達式，要求極值點，就要借助導函數，令導函數為0，解出x_n，驗證是極值后代入解析式即可求出y_n．
（3）類比求f_n（x）的極小值的過程求出g_n（x）的極大值，進而求出最值即可．

解答：解：（Ⅰ）fn(x)=(x+n)•ex（n∈N^*）．…（4分）
（Ⅱ）∵fn′(x)=(x+n+1)•ex，
∴當x＞-（n+1）時，fn′(x)＞0；當x＜-（n+1）時，fn′(x)＜0．
∴當x=-（n+1）時，f_n（x）取得極小值fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
即yn=-e-(n+1)（n∈N^*）．…（8分）
（Ⅲ） 解法一：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令h（x）=（x-3）²+e^-（x+1）（x≥0），則h'（x）=2（x-3）-e^-（x+1）．…（10分）
∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，∴h'（x）≥h'（0）=-6-e^-1，
∵h'（3）=-e^-4＜0，h'（4）=2-e^-5＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使得h'（x₀）=0．…（12分）
∵h'（x）在[0，+∞）單調遞增，
∴當0≤x＜x₀時，h'（x₀）＜0；當x＞x₀時，h'（x₀）＞0，
即h（x）在[x₀，+∞）單調遞增，在[0，x₀）單調遞減，
∴（h（x））_min=h（x₀），
又∵h（3）=e^-4，h（4）=1+e^-5，h（4）＞h（3），
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4．…（14分）
解法二：∵gn(x)=-(x+(n+1))2+(n-3)2，所以a=gn(-(n+1))=(n-3)2．…（9分）
又b=fn(-(n+1))=-e-(n+1)，
∴a-b=（n-3）²+e^-（n+1），
令cn=(n-3)2+e-(n+1)，
則cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，…（10分）
當n≥3時，cn+1-cn=2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

，又因為n≥3，所以2n-5≥1，

1

en+2

＞0，0＜

1

en+1

＜1，所以2n-5+

1

en+2

-

1

en+1

＞0，所以c_n+1＞c_n．…（12分）
又c1=4+

1

e2

，c2=1+

1

e3

，c3=

1

e4

，c₁＞c₂＞c₃，
∴當n=3時，a-b取得最小值e^-4．…（14分）

點評：本題主要考查函數、導數、數列以及合情推理等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想及有限與無限思想．著重考查學生利用導數研究函數的單調區間以及根據函數的增減性得到函數的最值．