Question

【題目】已知函數在處的切線經過點

（1）討論函數的單調性；

（2）若不等式恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在單調遞減；（2）.

【解析】試題分析：

(1)對函數進行求導，結合導函數與切線的關系求得 實數 的值，確定函數的解析式之后即可討論函數的單調性.

(2)分離系數后討論 的取值范圍即可，構造新函數后求導，討論新函數的值域，注意討論值域時利用反證法假設存在實數 滿足 ，由得出的矛盾知假設不成立，即函數的最小值開區間處為 .

試題解析：

（1）由題意得

∴，

∴在處的切線方程為

即，

∵點在該切線上，∴，

∴

函數在單調遞減；

（2）由題意知且，

原不等式等價于，

設，

由（1）得在單調遞減，且，

當時， ；當時， ；

∴，

假設存在正數，使得，

若，當時， ；

若，當時， ；

∴不存在這樣的正數，使得，∴的值域為

∴的取值范圍為.