Question

已知圓C：（x+1）²+（y-2）²=4
（1）若直線l：y=k（x-2）與圓C有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍；
（2）（文科）若過（2，0）的直線m被圓C截得的弦長為

14

，求直線m的方程；
（2）（理科）若斜率為1的直線m被圓C截得的弦AB滿足OA⊥OB（O是坐標原點），求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）將直線圓的位置關系轉化為圓心到直線的距離與半徑的大小關系即可解出；
（2）（文科）由條件設出直線的方程，由弦長l=2

r2-d2

，再利用點到直線的距離公式求出d即可；
（2）（理科）設出直線m的方程及兩交點的坐標，直線l的方程與圓的方程聯立，可得△＞0，再利用根與系數的關系得出x₁與x₂式子；另一方面由已知OA⊥OB，利用數量積等于0，得出x₁與x₂式子，進而即可得出答案．

解答：解：（1）∵直線l與圓C有公共點，∴圓心C（-1，2）到直線l的距離d≤r=2．
∴d=

|-k-2-2k|

k2+1

≤2?|3k+2|≤2

k2+1

，
兩邊平方并整理得5k²+12k≤0，∴-

12

5

≤k≤0．
即k得取值范圍是k∈[-

12

5

，0]．
（2）（文科）設直線m的斜率為k，則直線m的方程為y=k（x-2），
由弦長l=2

r2-d2

，得

14

=2

4-( |3k+2| k2+1 )2

，
兩邊平方并整理得17k²+24k+7=0，
解得k=-1，或k=-

7

17

，且都在[-

12

5

，0]范圍內，即都適合題意．
所求的直線m的方程為：y=-（x-2）或y=-

7

17

(x-2)．
即x+y-2=0，或7x+17y-14=0．
（2）（理科）由題意設所求的直線m的方程為：y=x+t，設圓的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
∵OA⊥OB，∴

OA

•

OB

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0．
又y₁y₂=（x₁+t）（x₂+t）=x1x2+(x1+x2)t+t2，代入上式得2x1x2+(x1+x2)t+t2=0．（?）
聯立

y=x+t (x+1)2+(y-2)2=4

消去y并整理得2x²+（2t-2）x+t²-4t+1=0．
∵直線與圓有兩個交點，∴△＞0，即（2t-2）²-8（t²-4t+1）＞0．
化為t²-6t+1＜0．解得3-2

2

＜t＜3+2

2

．（⊕）
根據根與系數的關系得x₁+x₂=1-t，x1x2=

t2-4t+1

2

．
將上兩式代入（?）式得t²-4t+1+t（1-t）+t²=0，
t²-3t+1=0，解得t=

3± 5

2

，滿足（⊕）式．
故所求的直線m的方程為y=x+

3± 5

2

．

點評：本題綜合考查了直線與圓相交時的弦長及滿足某些條件（垂直）的問題，將直線方程與圓的方程聯立化為關于一個未知數的一元二次方程的△＞0、根與系數的關系、弦長公式、數量積為0、點到直線的距離公式等是解題的關鍵．