Question

已知函數f（x）=-x³+3x．
（1）判斷f（x）的奇偶性，證明你的結論；
（2）當a在何范圍內取值時，關于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解？

Answer 1

分析：（1）根據已知中f（x）=-x³+3x．求出f（-x），并判斷f（-x）與f（x）的關系，然后根據函數奇偶性的性質得到函數的奇偶性，
（2）用定義法，先在定義域上任取兩個變量，且界定大小，再作差變形看符號．當自變量變化與函數值變化一致時，為增函數；當自變量變化與函數值變化相反時，為減函數，得出f（x）在（-1，1]上是增函數，從而函數f（x）=-x³+3x的值域是（-2，2]，即可得到答案．

解答：解：（1）證明：顯然f（x）的定義域是R．設x∈R，
∵f（-x）=-（-x）³+3（-x）=-（-x³+3x）=-f（x），
∴函數f（x）是奇函數．
（2）解：設-1＜x₁＜x₂≤1，則f（x₁）-f（x₂）=（-x₁³+3x₁）-（-x₂³+3x₂）=（x₁-x₂）[3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）]
∵x₁＜x₂，3-（x₁²+x₁x₂+x₂²）＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在（-1，1]上是增函數．
∴函數f（x）=-x³+3x的值域是（-2，2]．
∴當a在（-2，2]內取值時，關于x的方程f（x）=a在x∈（-1，1]上有解．

點評：本題考查的知識點是函數奇偶性與單調性的綜合，其中熟練掌握函數單調性與奇偶性的定義及性質是解答本題的關鍵．