Question

【題目】一種畫橢圓的工具如圖1所示．O是滑槽AB的中點，短桿ON可繞O轉動，長桿MN通過N處鉸鏈與ON連接，MN上的栓子D可沿滑槽AB滑動，且DN=ON=1，MN=3，當栓子D在滑槽AB內作往復運動時，帶動N繞O轉動，M處的筆尖畫出的橢圓記為C，以O為原點，AB所在的直線為x軸建立如圖2所示的平面直角坐標系．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設動直線l與兩定直線l1：x﹣2y=0和l2：x+2y=0分別交于P，Q兩點．若直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，試探究：△OPQ的面積是否存在最小值？若存在，求出該最小值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：設D（t，0），|t|≤2，

N（x0，y0），M（x，y），由題意得 =2 ，

且| |=| |=1，

∴（t﹣x，﹣y）=2（x0﹣t，y0），且 ，

即 ，且t（t﹣2x0）=0，

由于當點D不動時，點N也不動，∴t不恒等于0，

于是t=2x0，故x0= ，y0=﹣ ，

代入x02+y02=1，得方程為 ．

（2）解：①當直線l的斜率k不存在時，直線l為：x=4或x=﹣4，都有S△OPQ= ，

②直線l的斜率k存在時，直線l為：y=kx+m，（k ），

由 消去y，可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣16=0，

∵直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，

∴△=64k2m2﹣4（1+4k2）（4m2﹣16）=0，即m2=16k2+4，①，

由 ，可得P（ ， ），同理得Q（ ， ），

原點O到直線PQ的距離d= 和|PQ|= |xP﹣xQ|，

可得S△OPQ= |PQ|d= |m||xP﹣xQ|= |m|| |=| |②，

將①代入②得S△OPQ=| |=8| |，

當k2＞ 時，S△OPQ=8（ ）=8（1+ ）＞8，

當0≤k2＜ 時，S△OPQ=8| |=﹣8（ ）=8（﹣1+ ），

∵0≤k2＜ 時，∴0＜1﹣4k2≤1， ≥2，

∴S△OPQ=8（﹣1+ ）≥8，當且僅當k=0時取等號，

∴當k=0時，S△OPQ的最小值為8，

綜上可知當直線l與橢圓C在四個頂點處相切時，三角形OPQ的面積存在最小值為8．

【解析】（1）根據條件求出a，b即可求橢圓C的方程；（2）聯立直線方程和橢圓方程，求出原點到直線的距離，結合三角形的面積公式進行求解即可．
【考點精析】認真審題，首先需要了解橢圓的標準方程(橢圓標準方程焦點在x軸：，焦點在y軸：)．