Question

定義域為R的奇函數f（x）滿足f（x）=f（x-2k）（k∈Z），且當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．
（Ⅰ）求f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）當m取何值時，方程f（x）=m在（0，1）上有解？

Answer 1

分析：（I）由定義域為R的奇函數f（x），又由當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

．利用奇函數f（-x）=-f（x），f（0）=0，我們可以求出f（x）在（-1，0）上的解析式，然后根據f（x）滿足f（x）=f（x-2k）求出f（-1），f（1）的值，即得到f（x）在[-1，1]上的解析式；
（Ⅱ）根據當x∈（0，1）時，f(x)=

2x

4x+1

，求出函數在區間（0，1）上的值域，即可得到方程f（x）=m有解時，m的取值范圍．

解答：解：（Ⅰ）當x∈（-1，0）時，-x∈（0，1），
由f（x）為R上的奇函數，得f(-x)=-f(x)=

2-x

4-x+1

=

2x

4x+1

，
此時f（x）=-

2x

4x+1

（4分）
又f（0）=-f（0），f（0）=0，
∵f（-1）=-f（1），f（-1）=f（1-2）=f（1），
∴f（-1）=0，f（1）=0，（7分）
∴f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x=0，±1 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

（8分）
（Ⅱ）∵x∈（0，1）
∴m=

2x

4x+1

=

1

2x+ 1 2x

，（11分）
2^x∈（1，2），
∴2x+

1

2x

∈(2，

5

2

)，
即m∈(

2

5

，

1

2

)．    （14分）

點評：本題考查的知識點是函數與方程的綜合運用，函數解析式的求法，函數的值域，其中（1）中易忽略對f（0），f（-1）及f（1）值的確定，而錯解為f(x)=

- 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 2x 4x+1 ，x∈(0，1)

．