Question

如圖，四棱錐P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.

(1)求證：PC⊥BC
(2)求點A到平面PBC的距離．

Answer 1

（1）BC⊥PC；（2）.

試題分析：（1）要證線線垂直，要從線面垂直角度入手，根據題中所給條件易知BC⊥平面PDC，而PC在平面PDC，從而能夠證明出BC⊥PC. （2）要求點到面的距離，常用到等體積定理，由已知條件可知
V_A－PBC＝V_P－ABC ，而通過計算可知V_P－ABC＝S_△ABC·PD＝，接下來只需要求出△PBC的面積，這樣根據S_△PBC·h＝，∴h＝，所以點A到平面PBC的距離為.
試題解析：(1)∵PD⊥平面ABCD，BC?平面ABCD，∴PD⊥BC.
由∠BCD＝90°知，BC⊥DC，
∵PD∩DC＝D，∴BC⊥平面PDC，
∴BC⊥PC.
(2)設點A到平面PBC的距離為h，
∵AB∥DC，∠BCD＝90°，∴∠ABC＝90°，
∵AB＝2，BC＝1，∴S_△ABC＝AB·BC＝1，
∵PD⊥平面ABCD，PD＝1，
∴V_P－ABC＝S_△ABC·PD＝，
∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，
∵PD＝DC＝1，∴PC＝，
∵PC⊥BC，BC＝1，
∴S_△PBC＝PC·BC＝，
∵V_A－PBC＝V_P－ABC，
∴S_△PBC·h＝，∴h＝，
∴點A到平面PBC的距離為.