Question

給出下列命題：
①“x=2”是“x²=4”的充分不必要條件；
②設A={x||x|≤3}，B={y|y=-x²+t}，若A∩B=∅，則實數t的取值范圍為[3，+∞）；
③若log₂x+log_x2≥2，則x＞1；
④存在x，y∈R，使sin（x-y）=sinx-siny；
⑤若命題P：對任意的x∈R，函數y=cos(2x-

π

3

)的遞減區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)，命題q：存在x∈R，使tanx=1，則命題“p且q”是真命題．
其中真命題的序號為

①③④

．

Answer 1

分析：根據充要條件的定義，可以判斷①的真假；
解絕對值不等式求出A，根據二次函數的性質可以求出B，進而根據集合交集的定義，可判斷②的真假；
根據對數的運算性質及基本不等式，可以判斷③的真假；
令x=y=0時，可判斷④的真假；
根據余弦函數的單調性，可以判斷⑤的真假．

解答：解：當“x=2”時，“x²=4”成立，當“x²=4”時，“x=±2”故“x=2”不一定成立，即①“x=2”是“x²=4”的充分不必要條件正確；
A={x||x|≤3}=[-3，3]，B={y|y=-x²+t}=（-∞，t]，若A∩B=φ，則實數t的取值范圍（-∞，-3），故②錯誤；
當x＞1時，log₂x＞0，log_x2＞0，log₂x+log_x2≥2

log2x•logx2

=2，但0＜x＜1時，log₂x＜0，log_x2＜0，log₂x+log_x2≤-2

log2x•logx2

=-2，
故log₂x+log_x2≥2時，x＞1，即③正確；
當x=y=0時，sin（x-y）=sin（0）=0=sin0-sin0=0，故④正確；
命題P：由2kπ≤2x-

π

3

≤2kπ+π（k∈Z），得x∈[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

](k∈Z)，故對任意的x∈R，函數y=cos(2x-

π

3

)的遞減區間為[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)是假命題，則命題“p且q”是假命題，故⑤錯誤
故答案為：①③④

點評：本題考查的知識點是命題的真假判斷，充要條件，不等式的解法，集合的運算，對數的運算性質，基本不等式，正弦函數的定義，及余弦函數的單調性，熟練掌握上述基本知識點是解答的關鍵．