Question

【題目】函數 (為實數).

(1)若，求證：函數在上是增函數；

(2)求函數在上的最小值及相應的的值；

(3)若存在，使得成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）函數在上是增函數；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）當時， 在（0，+∞）上恒成立，故函數在（1，+∞）上是增函數；

（2）求導) ，當x∈[1，e]時， ．分①，②，③，三種情況得到函數f（x）在[1，e]上是單調性，進而得到[f（x）]min；

（3）由題意可化簡得到，令，利用導數判斷其單調性求出最小值為．

試題解析：

(1)當時， ，其定義域為，

，

當時， 恒成立，

故函數在上是增函數.

(2) ，

當時， ，

①若， 在上有 (僅當， 時， )，

故函數在上是增函數，此時；

②若，由，得，

當時，有，此時在區間上是減函數；

當時，有，此時， 在區間上是增函數，

故；

③若， 在上有 (僅當， 時， )，

故函數在上是減函數，此時

綜上可知，當時， 的最小值為1，相應的的值為1；

當時， 的最小值為，相應的值為；

當時， 的最小值為，相應的的值為.

(3)不等式可化為，

因為，所以，且等號不能同時取，

所以，即，

所以，

令，

則，

當時， ， ，

從而 (僅當時取等號)，

所以在上為增函數，所以的最小值為，

所以實數的取值范圍為.