Question

已知點P₁(2，3)、P₂(－4，5)和A(－1，2)，求過點A且與點P₁、P₂距離相等的直線方程．

Answer 1

y－2＝－(x＋1)或x＝－1.

(解法1)設所求直線方程為y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0.由點P₁、P₂到直線的距離相等得.化簡得，
則有3k－1＝－3k－3或3k－1＝3k＋3，
解得k＝－或方程無解．
方程無解表明這樣的k不存在，但過點A，所以直線方程為x＝－1，它與P₁、P₂的距離都是3.
∴所求直線方程為y－2＝－ (x＋1)或x＝－1.
(解法2)設所求直線為l，由于l過點A且與P₁、P₂距離相等，所以l有兩種情況，如下圖：

①當P₁、P₂在l的同側時，有l∥P₁P₂，此時可求得l的方程為y－2＝ (x＋1)，即y－2＝－(x＋1)；
②當P₁、P₂在l的異側時，l必過P₁、P₂的中點(－1，4)，此時l的方程為x＝－1.
∴所求直線的方程為y－2＝－(x＋1)或x＝－1.