Question

（1）在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

．求動點P的軌跡方程．
（2）

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2，原點到直線AB的距離為

3

2

，其中A（0，-b）、B（a，0）求該雙曲線的標準方程．

Answer 1

（1）∵點B與點A（-1，1）關于原點O對稱，∴B（1，-1），
設點P的坐標為（x，y），則
∵直線AP與BP的斜率之積等于-

1

3

，
∴

y-1

x+1

•

y+1

x-1

=-

1

3

化簡可得x²+3y²=4（x≠±1）；
（2）∵e=2，∴1+

b2

a2

=4，∴b²=3a²①
∵AB的方程為bx-ay-ab=0
∴由點到直線的距離公式可得

ab

a2+b2

=

3

2

②
聯立①②，解得a²=1，b²=3
∴雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．