Question

若關于x的方程x²+1=ax有正實數根，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：方法一：將方程化為a=

1

x

+x，方程有正實根，故可用基本不等式求實數a的取值范圍；
方法二：關于x的方程x²+1=ax有正實數根，可設兩根為α，β，則由根系關系可得αβ=1，α+β=a，利用基本不等式求最值．

解答：解：法一：方程有正實根，方程可變為a=

1

x

+x，
∴a=

1

x

+x≥2，等號當且僅當

1

x

=x=1時成立，
故參數a的取值范圍是[2，+∞）
故應填[2，+∞）
法二． 方程可變為x²-ax+1=0，可設兩根為α，β，
則由根系關系可得αβ=1，α+β=a，
因 為關于x的方程x²+1=ax有正實數根，αβ=1，故兩根皆為正
a=α+β≥2

αβ

=2，當且僅當兩根相等即α=β=1時等號成立．
故參數a的取值范圍是[2，+∞）
故應填[2，+∞）

點評：本題考查用根與系數關系建立方程求參數的范圍，在本題解法一中把參數分離出來變成了求函數值的問題，此方法是解決此類問題求參數的一個較巧妙的方法，應仔細體會看看還有哪些題可以用此種方法解題．