Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為菱形，底面，，，為棱的中點(diǎn)，為棱的動(dòng)點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）若二面角的余弦值為，求點(diǎn)的位置.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）點(diǎn)為線段的中點(diǎn).

【解析】

（1）分析出是等邊三角形，由三線合一得出，由，由，由底面，可得出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可得出平面；

（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，計(jì)算出平面和平面的法向量、，由計(jì)算出實(shí)數(shù)的值，即可確定點(diǎn)的位置.

（1）如下圖所示，由于四邊形是菱形，則，

又，是等邊三角形，為的中點(diǎn)，，

，.

底面，平面，，

，、平面，平面；

（2）由（1）知，，且底面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、、、，設(shè)，

則，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

由，即，得，

取，則，，則平面的一個(gè)法向量為.

同理可得平面的一個(gè)法向量為，

由題意可得，解得.

因此，當(dāng)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)時(shí)，二面角的余弦值為.