Question

【題目】已知函數，.

（1）討論的單調性；

（2）若，證明：當時，．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】

（1）求函數導數，討論a，根據導數的正負分析函數單調性即可；

（2）要證在上恒成立，即證明，在上恒成立，設，求函數導數，利用單調性求最值證明即可.

（1）

當時，

當時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

當時，令得 （*）

因為所以方程（*）有兩根，由求根公式得， .

當時，， 當或時，，單調遞減，

當時，，單調遞增，

所以在和上單調遞減，在上單調遞增.

當時，， 當或時，，單調遞增，當時，，單調遞減，

所以在和上單調遞增，在上單調遞減.

綜上所述，當時，在上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在和上單調遞減，在上單調遞增；

當時，在和上單調遞增，在上單調遞減.

（2）當時，，由題意知，要證在上恒成立，

即證明，在上恒成立.

設，則，

因為，所以，（當且僅當時等號成立），

即，

所以在上單調遞增，，

所以在上恒成立.