Question

（2013•鹽城三模）如圖，一顆棋子從三棱柱的一個頂點沿棱移到相鄰的另一個頂點的概率均為

1

3

，剛開始時，棋子在上底面點A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點的概率記為p_n．
（1）求p₁，p₂的值；
（2）求證：

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（1）通過棋子移動結合路徑直接求出p₁，利用棋子移動的情況直接求解p₂的值；
（2）通過棋子移動通過數列是等比數列求出p_n．然后利用數學歸納法證明

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．在證明n=k+1時，利用分析法證明即可．

解答：解：（1）棋子在上底面點A處，若移了n次后，棋子落在上底面頂點，棋子從A出發．由3條路徑，所以p₁=

2

3

．
棋子移動兩次，還在上底面時，有兩種可能，p₂=

2

3

×

2

3

+

1

3

(1-

2

3

)=

5

9

．
（2）因為移了n次后，棋子落在上底面頂點的概率為p_n．
故落在下底面頂點的概率為1-p_n．
于是，移了n+1次后，棋子落在上底面頂點的概率記為p_n+1=

2

3

pn+

1

3

(1-pn)=

1

3

pn+

1

3

，從而p_n+1-

1

2

=

1

3

(pn-

1

2

)，
所以數列{pn-

1

2

}是等比數列，首項為

1

6

公比為

1

3

，所以pn-

1

2

=

1

6

×(

1

3

)n-1，
用數學歸納法證明：

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

．
①當n=1時左式=

1

4× 2 3 -1

=

3

5

，右式=

1

2

，因為

3

5

＞

1

2

，所以不等式成立．
當n=2時，左式=

1

4× 2 3 -1

+

1

4× 5 9 -1

=

78

55

，右式=

4

3

，所以不等式成立；
②假設n=k（k≥2）不等式成立，即

k

i=1

1

4pi-1

＞

k2

k+1

．
則n=k+1時，左式=

k

i=1

1

4pi-1

+

1

4pk+1-1

＞

k2

k+1

+

1

4( 1 2 + 1 2 × 1 3k+1 )-1

=

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

，
要證

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

，
只要證

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

-

k2

k+1

，
即證：

3k+1

3k+1+2

≥

k2+3k+1

k2+3k+2

，
只要證

2

3k+1

≤

1

k2+3k+1

，
只要證3^k+1≥2k²+6k+2，
因為k≥2，所以3k+1=3(1+2)k≥3(1+2k+

4C

2 k

)=6k²+3=2k²+6k+2+2k（2k-3）+1＞2k²+6k+2
所以

k2

k+1

+

3k+1

3k+1+2

≥

(k+1)2

k+2

，
即n=k+1時不等式也成立，由①②可知

n

i=1

1

4pi-1

＞

n2

n+1

對任意n∈N^*都成立．

點評：本題考查概率的應用，概率與數列相結合，數學歸納法與分析法證明不等式的應用，考查邏輯推理能力與分析問題解決問題的能力．