Question

已知f(x)是定義在[－1，1]上的奇函數. 當a, b∈[－1，1]，且a+b≠0時，有
（1）判斷函數f(x)的的單調性，并給以證明；
（2）若f(1)=1，且f(x)≤m2－2bm+1對所有x∈[－1，1]，b∈[－1，1]恒成立，求實數m的取值范圍.

Answer 1

（1）見解析（2）（－，－2]∪{0}∪[2，+)

（1）證明：設x1，x2∈[-1，1]，且x1<x2,

∵x1<x2,∴x1－x2<0,又∵f(x)是奇數，∴f(－x2)=－f(x2)，

即f(x1)< f(x2).故f(x)在[－1，1]上為增函數.
（2）解：∵f(1)=1且f(x )在[－1，1]上為增函數，所以對x∈[－1，1]，有f(x)≤f(1)=1.由題意，對所有的x∈[－1，1]，b∈[－1，1]，有f(x)≤m2－2bm+1恒成立，
所以m2－2bm+1≥1m2－2bm≥0.
記g(b)=－2mb+m2，對所有的b∈[－1，1]，要g(b)≥0恒成立.只需
 m∈（－，－2]∪{0}∪[2，+).
所以實數m的取值范圍是：m∈（－，－2]∪{0}∪[2，+).