Question

在數列{a_n中，a₁=a（a＞2）且
（1）求證a_n＞2（n∈N^*）；
（2）求證a_n+1＜a_n（n∈N^*）；
（3）若存在k∈N^*，使得a_k≥3，求證：．

Answer 1

證明：（1）①當n=1時，a₁=a＞2，命題成立；
設當n=k時（k≥1且n∈N^*）命題成立，即a_k＞2
而n=k+1時，[
∵a_k＞2，∴a_k-1＞1，∴，
∴∴，
∴n=k+1時，a_k+1＞2，命題也成立beiwen
由①②對一切n∈N^*有a_n＞2
（2）
∵a_n＞2，
∴a_n+1-a_n＜0，
∴a_n+1＜a_n
（3）∵a_n+1＜a_n，a_k≥3∴a₁＞a₂＞a₃＞…＞a_k-1＞a_k≥3
∴
即∴
∴，
∴，
∵a＞3，
∴
∴，又∴
分析：（1）本題的思路是用數學歸納法來證明，在從n=k到n=k+1時利用歸納假設時要充分變形，對分式進行分離變式，即變形為：，然后用上歸納假設a_k＞2，利用均值不等式可以解答了．
（2）證明a_n+1＜a_n，可以利用作差變形來證明，本題會用到（1）的結論，這一點要想到！
（3）的證明有一定難度，但是只要耐心，細心分析，不難找到解答思路．由已知a_k≥3要構造出a_k的表達式來，然后利用函數的單調性解出k的范圍．本問可以先由要求證的問題推演出，那么聯想條件a_k≥3，再利用放縮法構造出的a_k的關系式來，問題就迎刃而解了．
點評：本題考查不等式的證明，綜合考查了數學歸納法，放縮法，作差法等方法；對不等式結構的變形和靈活處理是本題的難點和關鍵所在，特別是在運用放縮法的時候更加體現出學生靈活的頭腦，熟練處理各種變形的機智和果敢．本題在某一個環節處理不當將導致解答錯誤或者出力而不討好的結局．