Question

在數列{a_n}中，a₁=2，a₂=8，且已知函數f(x)=

1

3

(an+2-an+1)x3-(3an+1-4an)x

，(n∈N*)

在x=1時取得極值．
（1）證明數列{a_n+1-2a_n}是等比數列，并求數列{a_n}的通項；
（2）設3nbn=(-1)nan，且|b1|+|b2|+…+|bn|＜m-3n(

2

3

)n+1對于n∈N^*恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導函數，根據函數f(x)=

1

3

(an+2-an+1)x3-(3an+1-4an)x

&(n∈N*)

在x=1時取得極值，可得f′（1）=0，從而可證數列{a_n+1-2a_n}是等比數列，進而可得數列{

an

2n

}是以首項為1，公差為1的等差數列，從而可得數列{a_n}的通項；
（2）利用3nbn=(-1)nan，結合（1）可求b_n，進而可用錯位相消法，求數列的和，由此可求實數m的取值范圍．

解答：（1）證明：求導函數f′(x)=(an+2-an+1)x2-(3an+1-4an)
∵函數f(x)=

1

3

(an+2-an+1)x3-(3an+1-4an)x

&(n∈N*)

在x=1時取得極值．
∴f′（1）=0，
∴（a_n+2-a_n+1）-（3a_n+1-4a_n）=0．
即a_n+2-2a_n+1=2（a_n+1-2a_n），又a₂-2a₁=4
∴數列{a_n+1-2a_n}是以2為公比，4為首項的等比數列．
∴a_n+1-2a_n=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹，
∴

an+1

2n+1

-

an

2n

=1，且

a1

2

=1．
∴數列{

an

2n

}是以首項為1，公差為1的等差數列，
∴

an

2n

=1+（n-1）×1=n，
∴a_n=n•2ⁿ
（2）解：由3ⁿb_n=（-1）ⁿa_n，得b_n=（-1）ⁿn（

2

3

）ⁿ，
令S_n=|b₁|+|b₂|+…+|b_n|=

2

3

+2（

2

3

）²+3（

2

3

）³+…+n（

2

3

）ⁿ，①

2

3

S_n=（

2

3

）²+2（

2

3

）³+…+（n-1）（

2

3

）ⁿ+n（

2

3

）ⁿ⁺¹，②
①-②得

1

3

S_n=

2

3

+（

2

3

）²+（

2

3

）³+…+（

2

3

）ⁿ-n（

2

3

）ⁿ⁺¹
=

2 3 [1-( 2 3 )n]

1- 2 3

-n（

2

3

）ⁿ⁺¹=2[1-（

2

3

）ⁿ]-n（

2

3

）ⁿ⁺¹，
∴S_n=6[1-（

2

3

）ⁿ]-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹＜m-3n（

2

3

）ⁿ⁺¹．
要使得|b₁|+|b₂|+…+|b_n|＜m對于n∈N*恒成立，只須m≥6．
所以實數m的取值范圍是m≥6

點評：本題以函數為載體，考查等比數列，考查構造法的運用，考查錯位相消法求數列的和，綜合性強．