Question

（本題滿分15分）如圖，已知直線（）與拋物線：和圓：都相切，是的焦點．

（Ⅰ）求與的值；

（Ⅱ）設是上的一動點，以為切點作拋物線

的切線，直線交軸于點，以、為

鄰邊作平行四邊形，證明：點在一條

定直線上；

  （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記點所在的定直線為，

直線與軸交點為，連接交拋物線

于、兩點，求△的面積的取值范圍．

Answer 1

（本題滿分15分）

解：（Ⅰ）由已知，圓： 的圓心為，半徑．

由題設圓

心到直線的距離． 

即，解得（舍去）．     …………………（2分）

設與拋物線的相切點為，又，   

得，．    

代入直線方程得：，∴    ……………………………………（4分）

所以，．      ……………………………………………………（5分）

（Ⅱ）由（1）知拋物線方程為，焦點．   ………………（6分）

設，由（1）知以為切點的切線的方程為

．      ………………………………………（7分）

令，得切線交軸的點坐標為      ……………………（8分）

所以，，   

∵四邊形FAMB是以FA、FB為鄰邊作平行四邊形，

∴，     ……………………………………………（9分）

因為是定點，所以點在定直線上．     ………………………（10分）

（Ⅲ）設直線,                 ………………………………（11分）

代入得，  ………………………………………（12分）

得，                 ……………………………（13分）

，………（14分）

．△的面積范圍是．…………………………………………（15分）