Question

【題目】已知：數(shù)列{an}中， =n，a2=6，n∈N+ ．
（1）求a1 ， a3 ， a4；
（2）猜想an的表達(dá)式并給出證明；
（3）記：Sn= + +…+ ，證明：Sn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)n=1時(shí)， ，a1=1；

當(dāng)n=2時(shí)， ，a3=15；

當(dāng)n=3時(shí)， ，a4=28．

∴a1=1，a3=15，a4=28

（2）解：猜想an=n（2n﹣1）．

證明：當(dāng)n=1時(shí)，a1=1×（2×1﹣1）=1成立，當(dāng)n=2時(shí)，a2=2×（2×2﹣1）=6成立；

假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即ak=k（2k﹣1），

那么，當(dāng)n=k+1時(shí)，由 ，得 ，

∴ ，

得ak+1=（k+1）（2k+1），即n=k+1時(shí)，結(jié)論成立．

綜上，an=n（2n﹣1）

（3）證明：∵ （n≥2）．

∴Sn= + +…+ ＜1+

【解析】（1）直接由數(shù)列遞推式結(jié)合a2=6依次求得a1 ， a3 ， a4；（2）由數(shù)列前4項(xiàng)歸納猜測an=n（2n﹣1），然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明；（3）由 （n≥2），作和后放縮得答案．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式，掌握如果數(shù)列an的第n項(xiàng)與n之間的關(guān)系可以用一個(gè)公式表示，那么這個(gè)公式就叫這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式即可以解答此題．