Question

【題目】已知某地每單位面積菜地年平均使用氮肥量x(單位:kg)與每單位面積蔬菜年平均產量Y(單位:t)之間的關系有如下數據:

年份	2000	2001	2002	2003	2004	2005	2006	2007
x/kg	70	74	80	78	85	92	90	95
Y/t	5.1	6.0	6.8	7.8	9.0	10.2	10.0	12.0
年份	2008	2009	2010	2011	2012	2013	2014
x/kg	92	108	115	123	130	138	145
Y/t	11.5	11.0	11.8	12.2	12.5	12.8	13.0

(1)求x與Y之間的相關系數,并檢驗是否線性相關;

(2)若線性相關,求每單位面積蔬菜年平均產量Y與每單位面積菜地年平均使用氮肥量x之間的回歸直線方程,并估計每單位面積菜地年平均使用氮肥150 kg時,每單位面積蔬菜的年平均產量.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）14.7013

【解析】分析：（1）先計算出=101,10.11,=161 125,=1 628.55,xiyi=16 076.8,再求x與Y之間的相關系數,并檢驗是否線性相關.(2)先利用最小二乘法求回歸直線方程=0.093 7x+0.646 3，再估計每單位面積菜地年平均使用氮肥150 kg時,每單位面積蔬菜的年平均產量.

詳解：(1)列出下表,并用科學計算器進行有關計算:

i	1	2	3	4	5	6	7	8
xi	70	74	80	78	85	92	90	95
yi	5.1	6.0	6.8	7.8	9.0	10.2	10.0	12.0
xiyi	357	444	544	608.4	765	938.4	900	1 140
i	9	10	11	12	13	14	15
xi	92	108	115	123	130	138	145
yi	11.5	11.0	11.8	12.2	12.5	12.8	13.0
xiyi	1 058	1 188	1 357	1 500.6	1 625	1 766.4	1 885

=101,10.11,=161 125,=1 628.55,xiyi=16 076.8,

故蔬菜產量與使用氮肥量的相關系數

r=≈0.864 3.

由小概率0.05與n-2=13在教材附表中查得r0.05=0.514,|r|>r0.05,從而說明有95%的把握認為蔬菜產量與使用氮肥量之間存在著線性相關關系.

(2)設所求的回歸直線方程為x+,則0.093 7,=10.11-0.093 7×101=0.646 3,所以回歸直線方程為=0.093 7x+0.646 3.

所以當每單位面積菜地年平均使用氮肥150 kg時,每單位面積蔬菜的年平均產量約為0.093 7×150+0.646 3=14.7013(t).