Question

【題目】已知函數f（x）=（1﹣x）ex﹣1．
（Ⅰ）求函數f（x）的最大值；
（Ⅱ）設 ，x＞﹣1且x≠0，證明：g（x）＜1．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣xex．

當x∈（﹣∞，0）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增；

當x∈（0，+∞）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．

∴f（x）的最大值為f（0）=0．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當x＞0時，f（x）＜0，g（x）＜0＜1．

當﹣1＜x＜0時，g（x）＜1等價于設f（x）＞x．

設h（x）=f（x）﹣x，

則h′（x）=﹣xex﹣1．

當x∈（﹣1，0）時，0＜﹣x＜1， ＜ex＜1，

則0＜﹣xex＜1，

從而當x∈（﹣1，0）時，h′（x）＜0，h（x）在（﹣1，0]單調遞減．

當﹣1＜x＜0時，h（x）＞h（0）=0，

即g（x）＜1．

綜上，總有g（x）＜1

【解析】（Ⅰ）求函數的導數，利用函數的導數和最值之間的關系，即可求函數f（x）的最大值；（Ⅱ）利用函數的 單調性，證明不等式．