Question

函數y=x³-2ax+a在（0，1）內有極小值，則實數a的取值范圍為

（0，

3

2

）

．

Answer 1

分析：由函數y=x³-2ax+a在（0，1）內有極小值，求導可得，導函數在（0，1）內至少有一個實數根，分a＞0、a=0、a＜0三種情況，求得實數a的取值范圍．

解答：解：對于函數y=x³-2ax+a，求導可得y′=3x²-2a，
∵函數y=x³-3ax+a在（0，1）內有極小值，
∴y′=3x²-2a=0，則其有一根在（0，1）內，a＞0時，3x²-2a=0兩根為±

2 3 a

，
若有一根在（0，1）內，則0＜

2 3 a

＜1，即0＜a＜

3

2

．
a=0時，3x²-3a=0兩根相等，均為0，f（x）在（0，1）內無極小值．
a＜0時，3x²-3a=0無根，f（x）在（0，1）內無極小值，
綜合可得，0＜a＜

3

2

，
故答案為 （0，

3

2

）．

點評：考查利用導數研究函數的極值問題，體現了轉化的思想方法，屬于中檔題．