Question

已知橢圓C₁：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率為e，且b，e，

1

3

為等比數列，曲線y=8-x²恰好過橢圓的焦點．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設雙曲線C₂：

x2

m2

-

y2

n2

=1的頂點和焦點分別是橢圓C₁的焦點和頂點，設O為坐標原點，點A，B分別是C₁和C₂上的點，問是否存在A，B滿足

OA

=

1

2

OB

．請說明理由．若存在，請求出直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）先確定c的值，再利用b，e，

1

3

為等比數列，結合a²=b²+c²，求出幾何量，即可得到橢圓C₁的方程；
（2）假設存在A，B滿足

OA

=

1

2

OB

，則O，A，B三點共線且A，B不在y軸上，設出直線方程與橢圓、雙曲線聯立，利用共線得到k的方程，即可得到結論．

解答：解：（1）由y=8-x²=0可得x=±2

2

∴橢圓的焦點坐標為（±2

2

，0），即c=2

2

∵b，e，

1

3

為等比數列，
∴(

c

a

)2=

1

3

b
∵a²=b²+c²
∴a=2

3

，b=2
∴橢圓C₁的方程為

x2

12

+

y2

4

=1；
（2）假設存在A，B滿足

OA

=

1

2

OB

，則O，A，B三點共線且A，B不在y軸上，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線AB的方程為y=kx
由（1）知，C₂的方程為

x2

8

-

y2

4

=1
直線與橢圓方程聯立，可得（1+3k²）x²=12，即x12=

12

1+3k2

直線方程與雙曲線方程聯立，可得（1-2k²）x²=8，即x22=

8

1-2k2

∵

OA

=

1

2

OB

，∴x12=

1

4

x22
∴

12

1+3k2

=

8

1-2k2

∴k2=

1

3

∴k=±

3

3

∴存在A，B滿足

OA

=

1

2

OB

，此時直線AB的方程為y=±

3

3

x．

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，考查直線與橢圓、雙曲線的位置關系，屬于中檔題．