Question

【題目】設(shè)函數(shù)（為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）

【解析】分析：（Ⅰ）求出，在定義域內(nèi)，分別令求得的范圍，可得函數(shù)增區(qū)間，求得的范圍，可得函數(shù)的減區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于它的導(dǎo)函數(shù)在內(nèi)存內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn). 分三種情況討論，分別利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)圖，利用兩點(diǎn)存在定理列不等式組，從而可得符合題意的的取值范圍.

詳解：（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)，，

令則

當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減；

當(dāng) 單調(diào)遞增，

的單調(diào)遞減區(qū)間為單調(diào)遞增區(qū)間為.

(Ⅱ）由（Ⅰ）知，時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞減，

故在內(nèi)不存在極值點(diǎn)；

當(dāng)，設(shè)函數(shù).

，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

故故在內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，

得時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，

時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，

函數(shù)的最小值為

函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)

當(dāng)且僅當(dāng)

解得：

綜上所述，函數(shù)在內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，的取值范圍為.