Question

【題目】已知函數

（1）求函數的最大值；

（2）設 其中，證明: ＜1．

Answer 1

【答案】（1）0；（2）證明過程詳見解析.

【解析】試題分析：（1）先求導,從而求出增區間為,減區間為,故；（2）由（1）知,所以當時, 成立，當時, ,令,所以,所以成立.

試題解析：

（1）f(x)＝－xex．

當x∈(－∞，0)時，f(x)＞0，f(x)單調遞增；

當x∈(0，＋∞)時，f(x)＜0，f(x)單調遞減．

所以f(x)的最大值為f(0)＝0．

（2）由（Ⅰ）知，當x＞0時，f(x)＜0，g(x)＜0＜1．

當－1＜x＜0時，g(x)＜1等價于設f(x)＞x．

設h(x)＝f(x)－x，則h(x)＝－xex－1．

當x∈(－1，0)時，0＜－x＜1，0＜ex＜1，則0＜－xex＜1，

從而當x∈(－1，0)時，h(x)＜0，h(x)在(－1，0]單調遞減．

當－1＜x＜0時，h(x)＞h(0)＝0，即g(x)＜1．

綜上，總有g(x)＜1．