Question

條件甲：3sinαcos（α+β）=sin（2α+β），條件乙：tan（α+β）=2tanα，則甲是乙的（　　）

A、充分條件

B、必要條件

C、充要條件

D、即不充分也不必要條件

Answer 1

分析：推導兩個條件之間的關系問題，要從兩個方面入手，觀察從甲能否推出乙，若能則甲是乙的充分條件，再觀察乙能否推出甲，若能則甲是乙的必要條件，兩個方面缺一不可．

解答：解：（1）∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
=3sinαcos（α+β），
∴sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），
兩邊都除以cos（α+β）cosα，得sin（α+β）/cos（α+β）=2sinα/cosα，即tan（α+β）=2tanα．
但同除時要除式不為零，
∴由甲不一定推出乙．
（2）∵tan（α+β）=2tanα，即sin（α+β）/cos（α+β）=2sinα/cosα，
兩邊都乘以cos（α+β）cosα，得sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），
兩邊都加上cos（α+β）sinα，得
sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sinαcos（α+β），
即sin（2α+β）=3sinαcos（α+β）．
∴由乙可推出甲．
甲是乙的必要條件．
故選B

點評：運用兩角和與差角三角函數公式的關鍵是熟記公式，我們不僅要記住公式，更重要的是抓住公式的特征，如角的關系，次數關系，三角函數名等．抓住公式的結構特征對提高記憶公式的效率起到至關重要的作用．