Question

條件甲：3sinαcos（α+β）=sin（2α+β），條件乙：tan（α+β）=2tanα，則甲是乙的

1. A.
   充分條件
2. B.
   必要條件
3. C.
   充要條件
4. D.
   即不充分也不必要條件

Answer 1

B
分析：推導兩個條件之間的關系問題，要從兩個方面入手，觀察從甲能否推出乙，若能則甲是乙的充分條件，再觀察乙能否推出甲，若能則甲是乙的必要條件，兩個方面缺一不可．
解答：（1）∵sin（2α+β）=sin[（α+β）+α]=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα
=3sinαcos（α+β），
∴sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），
兩邊都除以cos（α+β）cosα，得sin（α+β）/cos（α+β）=2sinα/cosα，即tan（α+β）=2tanα．
但同除時要除式不為零，
∴由甲不一定推出乙．
（2）∵tan（α+β）=2tanα，即sin（α+β）/cos（α+β）=2sinα/cosα，
兩邊都乘以cos（α+β）cosα，得sin（α+β）cosα=2sinαcos（α+β），
兩邊都加上cos（α+β）sinα，得
sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα=3sinαcos（α+β），
即sin（2α+β）=3sinαcos（α+β）．
∴由乙可推出甲．
甲是乙的必要條件．
故選B
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