Question

【題目】如圖，已知多面體中，平面，，三角形是等邊三角形，且，為的中點．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）．

【解析】

（Ⅰ）取的中點，連接，證得四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定定理證明即可；

（Ⅱ）（解法一在）平面內，過作于點，連接，證得為和平面所成的角，再解平面三角形即可求出答案．

解法二：以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量求出線面角．

（1）證明：取的中點，連接，

為的中點，

且，

，

，

又，

四邊形為平行四邊形，

則，

平面平面，

平面；

（Ⅱ）解法一：在平面內，過作于點，連接，（圖象見第一問）

平面C平面，

，

，為的中點，

，

又平面，平面，

平面，

由（Ⅰ）知平面，

又平面，平面平面，

平面平面平面，

平面，

為和平面所成的角，

設，

則，

，

中，，

直線和平面所成角的正弦值為．

解法二：以為坐標原點，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

設，則，

，

，

設為平面的法向量，

則，即，令，得，

又，

設和平面所成的角為，

則，

直線和平面所成角的正弦值為．