Question

【題目】已知拋物線的焦點與橢圓：的一個頂點重合，且這個頂點與橢圓的兩個焦點構成的三角形面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）若橢圓的上頂點為，過作斜率為的直線交橢圓于另一點，線段的中點為，為坐標原點，連接并延長交橢圓于點，的面積為，求的值.

Answer 1

【答案】(1);(2).

【解析】分析：（1）根據拋物線的性質可得橢圓中的，再根據三角形的面積求出，根據，即可求出橢圓方程，
（Ⅱ）過點的直線方程為，代入到由得，可求出點的坐標，再求出的坐標和的坐標，以及|和點到直線的距離，根據三角形的面積求出的值．

詳解：

（1）因為拋物線的焦點與橢圓的一個頂點重合，∴，

又橢圓的頂點與其兩個焦點構成的三角形的面積為，

∴，

∴

故橢圓的方程是.

（2）由題意設直線的方程為，設點

由得

解得

∴，

∴

直線斜率，直線的方程為，

由得

點到直線：的距離為

∵，∴，又，

∴

令，則，解得

，∴，解得或（舍）

∴的值為.