Question

【題目】如圖，在四棱錐P—ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，其中底面ABCD為等腰梯形，AD∥BC，PA＝AB＝BC＝CD＝2，PD＝2，PA⊥PD，Q為PD的中點.

（Ⅰ）證明：CQ∥平面PAB；

（Ⅱ）求直線PD與平面AQC所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ） ．

【解析】試題分析：

(1) 取PA的中點N，由題意證得BN∥CQ，則CQ∥平面PAB.

(2)利用題意建立空間直角坐標系，結合平面的法向量可得直線PD與平面AQC所成角的正弦值為．

試題解析：

（Ⅰ）證明　如圖所示，取PA的中點N，連接QN，

BN.在△PAD中，PN＝NA，PQ＝QD，

所以QN∥AD，且QN＝AD.

在△APD中，PA＝2，PD＝2，PA⊥PD，

所以AD＝＝4，而BC＝2，所以BC＝AD.

又BC∥AD，所以QN∥BC，且QN＝BC，

故四邊形BCQN為平行四邊形，所以BN∥CQ.

又BN平面PAB，且CQ平面PAB, 所以CQ∥平面PAB.

（Ⅱ）如圖，取AD的中點M，連接BM；取BM的中點O，連接BO、PO.

由(1)知PA＝AM＝PM＝2,

所以△APM為等邊三角形，

所以PO⊥AM. 同理BO⊥AM.

因為平面PAD⊥平面ABCD,所以PO⊥BO.

如圖，以O為坐標原點，分別以OB，OD，OP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，則O(0,0,0)，D(0,3,0)，A(0，－1,0)，B(，0,0)，P(0,0，)，C(，2,0)，

則＝(，3,0).

因為Q為DP的中點，故Q，所以＝.

設平面AQC的法向量為m＝(x，y，z)，

則可得

令y＝－，則x＝3，z＝5. 故平面AQC的一個法向量為m＝(3，－，5).

設直線PD與平面AQC所成角為θ.

則sinθ= |cos〈，m〉|＝＝.

從而可知直線PD與平面AQC所成角正弦值為.