Question

已知曲線C：
（1）當為何值時，曲線C表示圓；
（2）在（1）的條件下，若曲線C與直線交于M、N兩點，且，求的值.
（3）在（1）的條件下，設直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得以為直徑的圓過原點，若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(1) (2)(3)存在,

試題分析：
(1)根據圓的一般式可知, ,可得范圍;
(2)將(1)中圓變形為標準方程,可知存在于半徑中,所以根據圓中 ,先求出圓心到直線的距離,即可求半徑得.
(3)假設存在,則有,設出兩點坐標,可得.根據直線與圓的位置關系是相交,所以聯立后首先根據初步判斷的范圍,而后利用根與系數的關系用表示出,將其帶入解之,如有解且在的范圍內,則存在,否則不存在.
（1）由，得.
（2），即，
所以圓心,半徑，
圓心到直線的距離.
又,在圓中
，即，．
（3）假設存在實數使得以為直徑的圓過原點，則，所以.
設，則有,即.
由得，
，即，又由（1）知，
故
根據根與系數的關系知:
,
                                               
故存在實數使得以為直徑的圓過原點，的使用.