Question

（本題文科學生做）如圖，在平面直角坐標系xoy中，已知F₁（-4，0），F₂（4，0），A（0，8），直線y=t（0＜t＜8）與線段AF₁、AF₂分別交于點P、Q．
（Ⅰ）當t=3時，求以F₁，F₂為焦點，且過PQ中點的橢圓的標準方程；
（Ⅱ）過點Q作直線QR∥AF₁交F₁F₂于點R，記△PRF₁的外接圓為圓C．
①求證：圓心C在定直線7x+4y+8=0上；
②圓C是否恒過異于點F₁的一個定點？若過，求出該點的坐標；若不過，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設橢圓的方程，根據當t=3時，PQ中點為（0，3），所以b=3，利用F₁（-4，0），F₂（4，0），即可求得橢圓的標準方程；
（Ⅱ）①確定直線AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8，求得P（，t），Q（，t），R（4-t，0），利用待定系數法，設△PRF₁的外接圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，進而可確定圓心坐標，即可證得結論；
②由①可得圓C的方程，分離參數，分別令其為0，即可求得定點的坐標．
解答：解：（Ⅰ）設橢圓的方程為，當t=3時，PQ中點為（0，3），所以b=3
∵a²-b²=16，∴a²=25
∴橢圓的標準方程為；
（Ⅱ）①證明：直線AF₁：y=2x+8；AF₂：y=-2x+8；
所以可得P（，t），Q（，t）
∵直線QR∥AF₁交F₁F₂于點R，∴R（4-t，0）
設△PRF₁的外接圓C的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則

∴
∴圓心坐標為
∴圓心C在定直線7x+4y+8=0上；
②由①可得圓C的方程為：x²+y²+tx+（4-）y+4t-16=0
整理可得（x²+y²+4y-16）+t（x-y+4）=0
∴x²+y²+4y-16=0，且x-y+4=0
聯立此兩方程解得x=，y=或x=-4，y=0
∴圓C恒過異于點F₁的一個定點，該點的坐標為（，）．
點評：本題考查圓錐曲線的綜合，考查橢圓的標準方程，考查圓的方程，考查恒過定點問題，解題的關鍵是利用待定系數法，分離參數法，屬于中檔題．