Question

試用兩種方法證明：
（1）；
（2）．

Answer 1

方法一：用組合數的公式證明，方法二：用數學歸納法證明

試題分析：（1）證明：方法1  由
令，得.               3分
方法2  數學歸納法
①當時，顯然成立；
②假設當時，，
則當時，由
所以，


由①②，等式對于任意恒成立.
7分
方法3 含個元素的集合的子集個數按兩種方式計算可證
（方法1給4分，其他方法6分）
（2）方法1
先證.
，（注意）
，
所以。                          9分
所以
          11分
方法2   由，
兩邊求導，得，        14分
令，得.       15分
點評：數學歸納法是一種證明與正整數n有關的數學命題的重要方法，另外關于組合數的等式常常利用組合數的性質證明