Question

【題目】已知函數f（x）=x2+a（x+lnx），a∈R． （Ⅰ）若當a=﹣1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若f（x）＞ （e+1）a，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由題意得x∈（0，+∞）； 當a=﹣1時，f（x）=x2﹣x﹣lnx， = ；
∴x∈（0，1）時，f′（x）＜0，x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
∴f（x）的單調減區間是（0，1），單調增區間是[1，+∞）；
（Ⅱ）①當a=0時，f（x）=x2＞0，顯然符合題意；
②當a＞0時，當 時；
f（x）＜1+a+alnx ，不符合題意；
③當a＜0時，則 ；
對于2x2+ax+a=0，△=a2﹣8a＞0；
∴該方程有兩個不同實根，且一正一負，即存在x0∈（0，+∞），使得 ；
即f′（x0）=0；
∴0＜x＜x0時，f′（x）＜0，x＞x0時，f′（x）＞0；
∴f（x）min=f（x0）= = = ；
∵ ，∴x0+2lnx0﹣（e+2）＜0；
∴0＜x0＜e；
由 得， ；
設y= ，y′= ；
∴函數 在（0，e）上單調遞減；
∴ ；
綜上所述，實數a的取值范圍
【解析】（Ⅰ）a=﹣1時，求出f（x）=x2﹣x﹣lnx，通過求導，根據導數符號即可判斷出f（x）的單調區間；（Ⅱ）討論a的取值：a=0時，容易得出滿足題意；a＞0時，會發現函數x2+ax在（0，+∞）上單調遞增，讓 ＜1，便得到f（x）＜1+a+alnx ，從而這種情況不存在；當a＜0時，通過求導，容易判斷出，存在x0∈（0，+∞），使f′（x0）=0，從而判斷出f（x）的最小值f（x0），再由條件f（x） 便可得到x0∈（0，e），并根據f′（x0）=0，可求出 ，從而求出a的取值范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)．