Question

【題目】已知函數， 為自然對數的底數， .

（1）試討論函數的單調性；

（2）當時， 恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) 當時， 在上單調遞增；當時， 在上單調遞增，在上單調遞減.

(2) .

【解析】試題分析：（1）對函數求導，關注定義域，對參數 a進行討論，得出函數的單調性；（2）解決恒成立的最基本方法就是分離參數，化為對時恒成立．設右邊為函數g(x),通過兩次求導研究函數g(x)的單調性和最大值，最后利用極值原理得出a的范圍.

試題解析：

（1）的定義域為， ．

若時，則，∴在上單調遞增；

若時，則由，∴．

當時， ，∴在上單調遞增；

當時， ，∴在上單調遞減．

綜上所述，當時， 在上單調遞增；

當時， 在上單調遞增，在上單調遞減．

（2）由題意得： 對時恒成立，

∴對時恒成立．

令，（ ），

∴．　

令，

∴對時恒成立，

∴在上單調遞減，

∵，

∴當時， ，∴， 在上單調遞增；

當時， ，∴， 在上單調遞減.

∴在處取得最大值，

∴的取值范圍是.