Question

已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜率為k的直線l經(jīng)過點(diǎn)M（0，1），與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B．

   （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

   （2）當(dāng)橢圓C的右焦點(diǎn)F在以AB為直徑的圓內(nèi)時(shí)，求k的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

   解：（1）∵焦距為4，∴ c=2………………………………………………1分

            又∵的離心率為……………………………… 2分

            ∴，∴a=，b=2………………………… 4分

            ∴標(biāo)準(zhǔn)方程為………………………………………6分

      （2）設(shè)直線l方程：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2），

           由得……………………7分

           ∴x1+x2=，x1x2=

             由（1）知右焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，0），

             ∵右焦點(diǎn)F在圓內(nèi)部，∴＜0………………………………8分

             ∴（x1 -2）（x2-2）+ y1y2＜0

             即x1x2-2（x1+x2）+4+k2 x1x2+k（x1+x2）+1＜0…………………… 9分

             ∴＜0…………… 11分

             ∴k＜……………………………………………………………… 12分

             經(jīng)檢驗(yàn)得k＜時(shí)，直線l與橢圓相交，

             ∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）……………………………13

【解析】略