Question

【題目】已知橢圓的右焦點為，長半軸長與短半軸長的比值為.

（1）求橢圓的方程；

（2）設經過點的直線與橢圓相交于不同的兩點，.若點在以線段為直徑的圓上，求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）或

【解析】

（1）根據右焦點為，長半軸長與短半軸長的比值為2，結合，即可得到的值，從而求得橢圓的方程；

（2）顯然直線的斜率不為零，故可設直線的方程為，，.與橢圓方程聯立，消去，得到關于的一元二次方程，利用韋達定理可得和，再由點在以線段為直徑的圓上，可得，利用向量的數量積化簡可得的方程，解出的值，即可得到直線的方程。

解：（1）由題可知，，，

，.

橢圓的方程為.

（2）易知當直線的斜率為或直線的斜率不存在時，不合題意.

當直線的斜率存在且不為時，設直線的方程為，，.

聯立，消去，可得.

，，

.

點在以為直徑的圓上，

.

，

，

整理，得，

解得或.

直線的方程為或.