Question

在數列{a_n}中，如果對任意的n∈N^*，都有（λ為常數），則稱數列{a_n}為比等差數列，λ稱為比公差．現給出以下命題，其中所有真命題的序號是    ．
①若數列{F_n}滿足F₁=1，F₂=1，F_n=F_n-1+F_n-2（n≥3），則該數列不是比等差數列；
②若數列{a_n}滿足，則數列{a_n}是比等差數列，且比公差λ=2；
③等差數列是常數列是成為比等差數列的充分必要條件；
（文）④數列{a_n}滿足：，a₁=2，則此數列的通項為-1，且{a_n}不是比等差數列；
（理）④數列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=，則此數列的通項為a_n=，且{a_n}不是比等差數列．

Answer 1

【答案】分析：根據比等差數列的定義（λ為常數），逐一判斷①～④中的四個數列是否是比等差數列，即可得到答案．
解答：解：數列{F_n}滿足F₁=1，F₂=1，F₃=2，F₄=3，F₅=5，-=1，-=-≠1，
則該數列不是比等差數列，
故①正確；
若數列{a_n}滿足an=（n-1）•2n-1，
則-=-=不為定值，
即數列{a_n}不是比等差數列，
故②錯誤；
③當等差數列為常數列0，0，0，0，…，0時，不能成為比等差數列，
故③錯誤；
（文）④∵數列{a_n}滿足：，
a₁=2=-1，
∴a₂=4+4=8=，
a₃=64+16=80=3-1．
由此猜想．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁=2=-1，成立．
②假設當n=k時成立，即，
則a_k+1=（）²+2（）
=-2×3+1-2×-2
=-1，也成立，
∴此數列的通項為-1．
∴-=-不是常數，
故{a_n}不是比等差數列，故④正確；
（理）④∵數列{a_n}滿足：a₁=，且a_n=，
∴a₁==，
a₂===，
==．
由此猜想a_n=．
用數學歸納法證明：
①當n=1時，a₁==，成立；
②假設n=k時，等式成立，即，
則a_k+1==，也成立．
故此數列的通項為a_n=，
∴-=-不是常數，
故{a_n}不是比等差數列，故④正確；
故答案為：①④．
點評：本題考查新定義，解題時應正確理解新定義，同時注意利用列舉法判斷命題為假，屬于難題．