Question

【題目】已知橢圓： （）的離心率為， 、分別是它的左、右焦點，且存在直線，使、關于的對稱點恰好是圓： （， ）的一條直徑的兩個端點.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設直線與拋物線（）相交于、兩點，射線、與橢圓分別相交于點、.試探究：是否存在數集，當且僅當時，總存在，使點在以線段為直徑的圓內？若存在，求出數集；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）; （Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（Ⅰ）橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，根據離心率求出；

（Ⅱ）因為、關于的對稱點恰好是圓的一條直徑的兩個端點，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標原點），故方程為，與聯立得： ，點在以線段為直徑的圓內 韋達定理代入求解即可.

試題解析：

（Ⅰ）將圓的方程配方得： ，所以其圓心為，半徑為2.

由題設知，橢圓的焦距等于圓的直徑，所以，

又，所以，從而，故橢圓的方程為.

（Ⅱ）因為、關于的對稱點恰好是圓的一條直徑的兩個端點，所以直線是線段的垂直平分線（是坐標原點），故方程為，與聯立得： ，由其判別式得，①

設， ，則， .

從而 ， .

因為的坐標為，所以， .

注意到與同向， 與同向，所以

點在以線段為直徑的圓內

，②

當且僅當 即時，總存在，使②成立.

又當時，由韋達定理知方程 的兩根均為正數，故使②成立的，從而滿足①.

故存在數集，當且僅當時，總存在，使點在以線段為直徑的圓內.