Question

點A、B分別是以雙曲線的焦點為頂點，頂點為焦點的橢圓C長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓C上，且位于x軸上方， 
（1）求橢圓C的的方程；
（2）求點P的坐標；
（3）設M是橢圓長軸AB上的一點，點M到直線AP的距離等于|MB|，求橢圓上的點到M的距離d的最小值。

Answer 1

（1） ；（2）點P的坐標為；
（3）當時，d取最小值 。

試題分析：（I）求出雙曲線的焦點、頂點，得出橢圓的a，c，b即可求出橢圓標準方程．
（Ⅱ）點P的坐標為（x，y），由已知得，與(x+6)(x-4)+y²=0
解方程組可得點P的坐標
（Ⅲ）設點M是（m，0）于是=|m-6|，解出m=2，建立橢圓上的點到M的距離d的表達式，用函數知識求最值。
（1）已知雙曲線實半軸a₁=4，虛半軸b₁=2，半焦距c₁=，
∴橢圓的長半軸a₂=c₁=6，橢圓的半焦距c₂=a₁=4，橢圓的短半軸=，
∴所求的橢圓方程為                   …………4分
（2）由已知,，設點P的坐標為，則
由已知得
             …………6分
則，解之得，       
由于y>0，所以只能取，于是，所以點P的坐標為……8分
（3）直線，設點M是，則點M到直線AP的距離是，于是，
又∵點M在橢圓的長軸上，即         …………10分
∴當時，橢圓上的點到的距離
   
又  ∴當時，d取最小值         …………12分
點評：解決該試題的關鍵是熟練的運用雙曲線的性質來表示出橢圓的a,b,c，進而得到方程，同時聯立方程組，結合韋達定理求點的坐標，進而分析最值。