Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面是邊長為的正方形，，是的中點，是線段上異于端點的一點，平面 平面，.

（Ⅰ）證明：；

（Ⅱ）若與平面所成的角的正弦值為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）見解析 （Ⅱ）

【解析】

（1）連接AC交BD與O，可證PA//平面BDM，再利用線面平行的性質定理和判定定理即可證得；

（2）根據已知條件建立空間直角坐標系，由線面所成角的正弦值為可得G的位置，即可求出梯形PAHG的面積，然后可以求四棱錐的體積.

解：（1）證明：連接AC交BD于點O，連接MO.

因為MO是△APC的中位線，所以MO//PA

又PA平面MBD，MO平面MBD，所以PA//平面MBD

又因為平面GAP∩平面BDM＝GH，PA平面GAP，所以PA//GH

又GH平面PAD，PA面PAD，所以GH//平面PAD

（2）如圖建立空間直角坐標系.依題意可得D（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），M（0，1，1）

因為G在DM上，所以可設G（0，t，t），（0＜t＜1）

設是平面GAP的一個法向量，則

即，

可取

若PD與平面GAP所成的角為α，

則

解得，則G是線段DM的中點

D到平面GAP的距離為

由（1）知MO//PA，PA//GH，所以MO//GH，所以H也是DO的中點，

經計算得

梯形PAHG的高為，面積為

四棱錐D-PAHG的體積