Question

已知二次函數的圖象經過坐標原點，其導函數為,數列的前項和為,點均在函數的圖像上.
（1）求的解析式；
（2）求數列的通項公式；
（3）設,是數列的前n項和,求使得對所有都成立的最小正整數.

Answer 1

（1） （2） （3）10

解析試題分析：（1）利用導函數及待定系數法求解；（2）利用與的關系求通項公式，要注意對進行討論；（3）數列求和的方法由數列的通項公式決定.常用的方法有：公式求和法、倒序相加法、錯位相減法、裂項相消法、分組轉化法等。先利用裂項相消法求和，再求其最大值，就得到的取值范圍.
試題解析：（1）依題意設二次函數，則.            1分
由于，得：                                2分
所以.                                                3分
（2）由點均在函數的圖像上，又，
所以.                                                     4分
當時，                                      5分
當時，       7分
所以，                                            8分
（3）由（2）得知＝          9分
＝，                                 11分
故＝
＝.                                      12分
要使（）成立，需要滿足≤，13分
即，所以滿足要求的最小正整數m為10.                              14分
考點：1.導數運算  2.通項公式、前n項和的求法   3.函數（數列）最值的求法