Question

如圖，是邊長為3的正方形，，，與平面所成的角為.

(1)求二面角的的余弦值;
(2)設點是線段上一動點，試確定的位置，使得，并證明你的結論．

Answer 1

（1）；（2）三等分點

試題分析：（1）根據平面，確定就是與平面所成的角，從而得到，且，可以建立空間直角坐標系，寫出，設出的一個法向量為，根據，解出，而平面的法向量設為，所以利用向量數量積公式得出二面角的余弦值為；（2）由題意設，則，而平面，∴，代入坐標，求出，所以點M的坐標為，此時，∴點M是線段BD靠近B點的三等分點.
試題解析：
平面，就是與平面所成的角，即，∴.
如圖，分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則各點的坐標如下，∴，設平面的一個法向量為，則，即，令，則.
∵平面，∴平面的法向量設為，∴，故二面角的余弦值為.

（2）由題意，設，則，∵平面，∴，即解得，∴點M的坐標為，此時，∴點M是線段BD靠近B點的三等分點.