Question

如圖在四棱錐中,底面是邊長(zhǎng)為的正方形,側(cè)面底面，且．

(1)求證：面平面；
(2)求二面角的余弦值．

Answer 1

（1）證明過(guò)程詳見(jiàn)解析；（2）.

試題分析：本題主要以四棱錐為幾何背景考查線面垂直、面面垂直的判定以及二面角的求法，可以運(yùn)用傳統(tǒng)幾何法，也可以用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計(jì)算能力.第一問(wèn)，法一，先利用面面垂直的性質(zhì)判斷出，從而平面，所以垂直于面內(nèi)的任意的線，由，判斷是等腰直角三角形，所以且，所以面，利用面面垂直的判定定理得面面垂直，法二，利用空間向量法，通過(guò)證明，其它過(guò)程與法一相同；第二問(wèn)，由第一問(wèn)得到平面的法向量為，而平面的法向量需要計(jì)算求出，
，所以，最后用夾角公式求夾角余弦值.
試題解析：(1)解法一：因?yàn)槊?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824024511519439.png" style="vertical-align:middle;" />面平面面
為正方形，，平面
所以平面∴                2分
又，所以是等腰直角三角形，
且，即 ，
，且、面，
面            
又面，∴面面.          6分
解法二：
如圖,

取的中點(diǎn), 連結(jié),.
∵,  ∴.
∵側(cè)面底面,
平面平面, 
∴平面,
而分別為的中點(diǎn),∴,
又是正方形,故.
∵,∴,.
以為原點(diǎn),向量為軸建立空間直線坐標(biāo)系,
則有,,,,,.
∵為的中點(diǎn), ∴                     2分
(1)∵，，  ∴，
∴,從而,又,,
∴平面，而平面，
∴平面平面．                     6分
（2）由（1）知平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量為，∵，
∴由，，可得
取，則故.
∴,
即二面角的余弦值為,        12分