Question

【題目】已知函數f（x）=alnx+ x2﹣（1+a）x．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若f（x）≥0對定義域中的任意x恒成立，求實數a的取值范圍；
（3）證明：對任意正整數m，n，不等式 + +…+ ＞ 恒成立．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f′（x）= +x﹣（1+a），

①當a≤0時，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，

故函數f（x）的單調減區間是（0，1）；

若x＞1，則f′（x）＞0，故函數f（x）的增區間是（1，+∞）．

②當0＜a＜1時，函數f（x）的單調減區間是（a，1）；

單調增區間是（0，a），（1，+∞）．

③當a=1時，則f′（x）= ≥0，

故函數f（x）的單調增區間是（0，+∞）；

④當a＞1時，函數f（x）的單調遞減區間是（1，a）；

函數f（x）的單調遞增區間是（0，1），（a，+∞）．

（2）解：由于f（1）=﹣ ，

當a＞0時，f（1）＜0，

此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的．

當a≤0時，由（1）得f（x）在區間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=﹣ ，

此時，f（1）≥0，解得a≤﹣ ，

故實數a的取值范圍是（﹣∞，﹣ ）．

（3）解：由（2）知，當a=﹣ 時，

f（x）=﹣ lnx+ x2﹣ x≥0，當且僅當x=1時，等號成立，

這個不等式等價于lnx≤x2﹣x．

當x＞1時，變換為 ＞ = ﹣ ，

因此不等式左邊＞（ ﹣ ）+（ ﹣ ）+…+（ ﹣ ）= ﹣ = ，

從而得證．

【解析】（1）求出f（x）的導數，由此根據a的取值范圍進行分類討論，能求出函數f（x）的單調區間．（2）由于f（1）=﹣ ，當a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內的任意x不是恒成立的．當a≤0時，由（1）得f（x）在區間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=﹣ ，由此能求出實數a的取值范圍．（3）由（2）知，當a=﹣ 時，f（x）≥0，當且僅當x=1時，等號成立，這個不等式等價于lnx≤x2﹣x．由此能夠證明對任意的正整數m，n，不等式恒成立．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值才能正確解答此題．