Question

如圖，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD為正方形，∠PAD=90°，且PA=AD，E、F分別是線段PA、CD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求EF和平面ABCD所成的角α；
（Ⅲ）求異面直線EF與BD所成的角β．

Answer 1

解（Ⅰ）證明：由已知PA⊥AD，AB⊥AD，
所以∠PAB為平面PAD與平面ABCD所成二面角的平面角，
由已知：平面PAD⊥平面ABCD，得PA⊥AB
又AB?平面ABCD，AD?平面ABCD，且AB與AD相交
∴PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）連接AF，則∠AFE即為α，
在△AFE中，可求得α=arctan

5

5

（Ⅲ）取BC的中點(diǎn)M，連接EM、FM，則FM∥BD，
∴∠EFM（或其補(bǔ)角）就是異面直線EF與BD所成的角．
可求得EM=

EA2+AM2

=

6

，同理EF=

6

，又FM=

1

2

BD=

2

，
∴在△MFE中，cos∠EFM=

EF2+FM2-ME2

2EF•FM

=

3

6

，
故異面直線EF與BD所成角為arccos

3

6

．