已知二次函數
與
交于
兩點且
，奇函數
，當
時，
與
都在
取到最小值．
（1）求
的解析式；
（2）若與
圖象恰有兩個不同的交點，求實數
的取值范圍．
（1）
；（2）
．
解析試題分析：（1）由已知
是奇函數，故
，從而得
，所以
，又當時，在取到最小值，由均值不等式等號成立的條件可得
，即
．再由已知及弦長公式，得
，解方程組便得
的值，從而得函數和的解析式；（2）由已知，與，即
有兩個不等的實根，將問題轉化為方程
有兩個不等的實根，即一元二次方程根的分布問題，列不等式組解決問題．
試題解析：（1）因為是奇函數，由得，所以，由于時，
有最小值，所以
，則
，當且僅當：
取到最小值，所以，即．
設
，，則
．由
得：
，所以：，解得：
，所以 6分
（2）因為與，即有兩個不等的實根，也即方程有兩個不等的實根．
當
時，有
，解得
；當
時，有
，無解．
綜上所述，． 13分
考點：1．函數的最值；2．函數的奇偶性；3．弦長公式；4．一元二次方程根的分布問題．
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已知實數
，函數
.
（1）當
時，求
的最小值;
（2）當時,判斷的單調性,并說明理由；
（3）求實數
的范圍，使得對于區間
上的任意三個實數
，都存在以
為邊長的三角形.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在圓
上任取一點
，設點在
軸上的正投影為點
．當點在圓上運動時，動點
滿足
，動點形成的軌跡為曲線
.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點
，若
、
是曲線上的兩個動點，且滿足
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某創業投資公司擬投資開發某種新能源產品，估計能獲得10萬元到1000萬元的投資收益．現準備制定一個對科研課題組的獎勵方案：獎金
（單位：萬元）隨投資收益
（單位：萬元）的增加而增加，且獎金不超過9萬元，同時獎金不超過投資收益的20%．
（1）若建立函數
模型制定獎勵方案，試用數學語言表述該公司對獎勵函數
模型的基本要求，并分析函數
是否符合這個要求，并說明原因；
（2）若該公司采用函數
作為獎勵函數模型，試確定最小的正整數
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知函數
，恒過定點
．
（1）求實數
；
（2）在（1）的條件下，將函數
的圖象向下平移1個單位，再向左平移個單位后得到函數
，設函數的反函數為
，直接寫出的解析式；
（3）對于定義在
上的函數
，若在其定義域內，不等式
恒成立，求實數
的取值范圍．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知偶函數
滿足：當
時，
，當
時，
．
(Ⅰ)求
表達式；
(Ⅱ)若直線
與函數的圖像恰有兩個公共點，求實數
的取值范圍；
(Ⅲ)試討論當實數
滿足什么條件時，直線
的圖像恰有
個公共點
，且這個公共點均勻分布在直線
上．（不要求過程）
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
某企業擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的體積為
立方米，且
．假設該容器的建造費用僅與其表面積有關．已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為
千元，設該容器的建造費用為
千元．
（Ⅰ）寫出關于
的函數表達式，并求該函數的定義域；
（Ⅱ）求該容器的建造費用最小時的．
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（
）在
上的最大值為23，求a的值.
的單調性，并證明；